Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції. Приклад:

(1)
(2) Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1) . ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних. Ми розглянемо методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь. Порядком ДР називається найвищий порядок похідної ( або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР)
-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до
-го порядку включно:
(3)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції. Диференціальне рівняння
-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(4) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші. Якщо ці значення задаються при
або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами. В задачі Коші додаткові умови називаються початковими. В крайовій задачі - граничними. Задача Коші Задача Коші формулюється так : Нехай задане ДР
(5) з початковими умовами
. Потрібно знайти функцію
, що задовольняє дане рівняння, та початкову умову. Чисельний розв’язок цієї задачі одержують так. Спочатку обчислюють значення похідної, потім задаючи малий приріст
, переходять до нової точки
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива
. Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної. Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші. Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій
потрібна інформація лише про попередній крок. Однокроковими є метод Ейлера та методи Руте-Кутта. Багатокрокові (або методи прогнозування та коригування). Для знаходження наступної точки кривої
вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. До них належать методи Адамса, Мілна, Хеммінга. Це чисельні методи розв’язування ДР. Вони дають розв’язок у вигляді таблиці значень. Метод Ейлера Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
(1) Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика.
- настільки мале, що значення функції
мало відрізняється від лінійної функції
- тангенс кута нахилу дотичної в

x h Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної . Метод Ейлера базується на розкладі функції
в ряд Тейлора в околі точки


(2) Якщо
мале, то, члени розкладу, що містять в собі
і т.д. є малими високих порядків і ними можна знехтувати. Тоді
(3) Похідну
знаходимо з рівняння (1), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні
від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення.
, роблячи як завгодно багато кроків. Похибка методу має порядок
, оскільки відкинуті члени, що містять
в другій і вище степенях. Недолік методу Ейлера - нагром...